Question

2．2017年1月25日智能共享單車項(xiàng)目摩拜單車正式登陸濟(jì)南，兩種車型采用分段計(jì)費(fèi)的方式，Mobike  Lite型（Lite版）和經(jīng)典版每30分鐘收0.5元（不足30分鐘的部分按30分鐘計(jì)算）．有甲、乙、丙三人相互對(duì)立的到租車點(diǎn)租車騎行（各租一車一次）．設(shè)甲、乙、丙不超過30分鐘還車的概率分別為$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，三人租車時(shí)間都不會(huì)超過60分鐘，甲、乙均租用Lite版單車，丙租用經(jīng)典版單車．
（1）求甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和等于丙所付的費(fèi)用的概率；
（2）設(shè)甲、乙、丙三人所付費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和等于丙所付的費(fèi)用必然是：甲、乙兩人半小時(shí)內(nèi)還車，而丙超過30分鐘還車．其概率P=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$×$（1-\frac{1}{2}）$．
（2）ξ的取值可能為1.5，2，2.5，3．利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和等于丙所付的費(fèi)用必然是：甲、乙兩人半小時(shí)內(nèi)還車，而丙超過30分鐘還車．其概率P=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$×$（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{4}$．
（2）ξ的取值可能為1.5，2，2.5，3．
P（ξ=1.5）=$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，P（ξ=2）=（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{11}{24}$，
P（ξ=2.5）=（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）+（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{6}{24}$，
P（ξ=3）=（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{24}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	1.5	2	2.5	3
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{6}{24}$	$\frac{1}{24}$

Eξ=1.5×$\frac{1}{4}$+2×$\frac{11}{24}$+2.5×$\frac{6}{24}$+3×$\frac{1}{24}$=$\frac{49}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列的概率數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．