Question

18．已知兩個集合A，B，滿足B⊆A．若對任意的x∈A，存在a_i，a_j∈B（i≠j），使得x=λ₁a_i+λ₂a_j（λ₁，λ₂∈{-1，0，1}），則稱B為A的一個基集．若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，則其基集B元素個數(shù)的最小值是3．

Answer 1

分析 設(shè)a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_m，計算出b=λ₁a_i+λ₂a_j的各種情況下的正整數(shù)個數(shù)并求出它們的和，結(jié)合題意得m+m+C_m²+C_m²≥n，即m（m+1）≥n．可知m（m+1）≥10，即可得出結(jié)論，

解答 解：不妨設(shè)a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_m，則
形如1×a_i+0×a_j（1≤i≤j≤m）的正整數(shù)共有m個；
形如1×a_i+1×a_i（1≤i≤m）的正整數(shù)共有m個；
形如1×a_i+1×a_j（1≤i≤j≤m）的正整數(shù)至多有C_m²個；
形如-1×a_i+1×a_j（1≤i≤j≤m）的正整數(shù)至多有C_m²個．
又集合M={1，2，3，…，n}（n∈N^*），含n個不同的正整數(shù)，A為集合M的一個m元基底．
故m+m+C_m²+C_m²≥n，即m（m+1）≥n，
A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，可知m（m+1）≥10，所以m≥3．
故答案為3．

點評 本題以一個集合為另一個集合的m元基底的討論為載體，著重考查了集合元素的討論和方程、不等式的整數(shù)解的討論和兩個計數(shù)原理等知識，屬于難題．