Question

8．設(shè)F為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線依次與雙曲線C的左、右支交于點(diǎn)P，Q，若|PQ|=2|QF|，∠PQF=60°，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $1+\sqrt{3}$
• C． $2+\sqrt{3}$
• D． $4+2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F₁，連接F₁P，F(xiàn)₁Q，由對(duì)稱(chēng)性可知，F(xiàn)₁PFQ為矩形，即可求出該雙曲線的離心率．

解答 解：∵|PQ|=2|QF|，∠PQF=60°，∴∠PFQ=90°，
設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F₁，連接F₁P，F(xiàn)₁Q，
由對(duì)稱(chēng)性可知，F(xiàn)₁PFQ為矩形，且$|{F_1}F|=2|QF|，|Q{F_1}|=\sqrt{3}|QF|$，
故$e=\frac{2c}{2a}=\frac{{|{F_1}F|}}{{|Q{F_1}|-|QF|}}=\frac{2}{{\sqrt{3}-1}}=\sqrt{3}+1$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．