Question

16．某化工廠O正東方向和北偏西60°方向分別有兩條通向工廠的公路，工廠正北方向有一觀察站C，OC=2千米，因化工廠原料泄漏，工廠周圍1千米的范圍內(nèi)均有不同程度的影響．現(xiàn)準備從觀察站C處修兩條隔離綠化帶CA，CB（其中A，B為隔離帶與公路交接點）．且使CA⊥CB，隔離帶與兩條公路線圍成的面積為S．
（1）①若OA=a千米，試把S表示成a的函數(shù)．并寫出其定義域；
②若∠OAC=θ，試把S表示成θ的函數(shù)，并寫出其定義域；
（2）選擇上述兩個函數(shù)中的以個，試求S的最小值．

Answer 1

分析 （1）①設B（x，-$\sqrt{3}$x），根據(jù)BC⊥AC列方程解出x從而求出兩個三角形的面積；
②利用正弦定理計算OB，得出三角形的面積；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出最小值；

解答 解：（1）①由題意可知∠BOC=$\frac{π}{3}$，∴直線OB的方程為y=-$\sqrt{3}$x，
設B（x，-$\sqrt{3}$x），則k_BC=$\frac{2+\sqrt{3}x}{-x}$，k_AC=$\frac{2}{-a}$，
∵BC⊥AC，∴$\frac{2+\sqrt{3}x}{-x}$•$\frac{2}{-a}$=-1，解得x=-$\frac{4}{2\sqrt{3}+a}$．
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}OC•|x|$=$\frac{4}{2\sqrt{3}+a}$，又S_△AOC=$\frac{1}{2}OA•OC$=a，
∴S=$\frac{4}{2\sqrt{3}+a}$+a．
由題意可知當AC與圓O相切時，OA取的最小值，
設AC的最小值為m，則AC=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，
∵OA•OC=AC•1，即2m=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，∴m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴定義域為{a|a≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$}．
②∵BC⊥AC，∴∠BCO=∠OAC=θ，∴∠OBC=$\frac{2π}{3}$-θ，
在△OBC中，由正弦定理得$\frac{sin（\frac{2π}{3}-θ）}{2}=\frac{sinθ}{OB}$，
∴OB=$\frac{2sinθ}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$，∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$OB•OCsin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}sinθ}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$，
又tanθ=$\frac{OC}{OA}=\frac{2}{OA}$，∴OA=$\frac{2}{tanθ}$，∴S_△OAC=$\frac{1}{2}OA•OC$=$\frac{2}{tanθ}$，
∴S=$\frac{\sqrt{3}sinθ}{sin（\frac{2π}{3}-θ）}$+$\frac{2}{tanθ}$．
當θ取得最小值時，AC與圓O相切，∴θ的最大值為$\frac{π}{3}$．
∴定義域為{θ|0＜θ≤$\frac{π}{3}$}．
（2）S（a）=$\frac{4}{2\sqrt{3}+a}+a$，S′（a）=1-$\frac{4}{（2\sqrt{3}+a）^{2}}$=$\frac{（2\sqrt{3}+a）^{2}-4}{（2\sqrt{3}+a）^{2}}$=$\frac{（2\sqrt{3}+a+2）（2\sqrt{3}+a-2）}{（2\sqrt{3}+a）^{2}}$，
∵a$≥\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴S′（a）＞0，
∴S（a）在[$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）上是增函數(shù)，
∴當a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，S（a）取得最小值S（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求解，函數(shù)單調(diào)性判斷和最值的計算，屬于中檔題．