Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，M為橢圓上除長軸端點外的任意一點，且△MF₁F₂的周長為4+2$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點D（0，-2）作直線l與橢圓C交于A、B兩點，點N滿足$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$（O為原點），求四邊形OANB面積的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的離心率公式及焦點三角形的周長公式，求得a和c的值，b²=a²-c²=1，即可求得橢圓方程；
（2）確定四邊形OANB為平行四邊形，則S_OANB=2S_△OAB，表示出面積，利用基本不等式，即可求得最大值，從而可得直線l的方程．

解答 解：（1）由離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，①
則△MF₁F₂的周長l=2a+2c=4+2$\sqrt{3}$，則a+c=2+$\sqrt{3}$，②
則a=2，c=$\sqrt{3}$，
則b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，則四邊形OANB為平行四邊形，
當直線l的斜率不存在時顯然不符合題意；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx-2，l與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-16kx+12=0…（6分）
由△=16²k²-48（1+4k²）＞0，得k²＞$\frac{3}{4}$∴x₁+x₂=$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$…（8分）
∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$丨OD丨•丨x₁-x₂丨=丨x₁-x₂丨，
∴四邊形OANB面積S=2S_△OAB=2丨x₁-x₂丨=2$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=2$\sqrt{（-\frac{16k}{1+4{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{12}{1+4{k}^{2}}}$，
=2$\sqrt{\frac{1{6}^{2}{k}^{2}-48（1+4{k}^{2}）}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$，
=8$\sqrt{\frac{4{k}^{2}-3}{（1+4{k}^{2}）^{2}}}$，…（10分）
令4k²-3=t，則4k²=t+3（由上可知t＞0），S=8$\sqrt{\frac{t}{（t+4）^{2}}}$=8$\sqrt{\frac{1}{8+t+\frac{16}{t}}}$≤8$\sqrt{\frac{1}{8+2\sqrt{t•\frac{16}{t}}}}$=8$\sqrt{\frac{1}{16}}$=2，
當且僅當t=4，即k²=$\frac{7}{4}$時取等號；
∴當k=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$，平行四邊形OANB面積的最大值為2，
此時直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{7}}{2}$x-2．…（12分）

點評 本題考查橢圓的方程與性質，考查直線與橢圓的位置關系，韋達定理，基本不等式的應用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．