Question

12．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|2x-3|，g（x）=|x+1|+|x-a|
（1）求f（x）≥1的解集
（2）若對任意的t∈R，都存在一個s使得g（s）≥f（t）．求a的取位范圍．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得g（x）_min≥f（x）_max，利用絕對值三角不等還分別求得g（x）_min 和f（x）_max，解不等式可得g（x）_min≥f（x）_max，求得a的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|2x+1|-|2x-3|，故f（x）≥1，等價于|2x+1|-|2x-3|≥1，
等價于$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1-（3-2x）≥1}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{2x+1-（3-2x）≥1}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{3}{2}}\\{2x+1-（2x-3）≥1}\end{array}\right.$③．
解①求得x∈∅，解②求得$\frac{3}{2}$≥x≥$\frac{3}{4}$，解③求得x＞$\frac{3}{2}$，
綜上可得，不等式的解集為{x|x≥$\frac{3}{4}$}．
（2）若對任意的t∈R，都存在一個s使得g（s）≥f（t），可得g（x）_min≥f（x）_max．
∵函數(shù)f（x）=|2x+1|-|2x-3|≤|2x+1-（2x-3）|=4，∴f（x）_max=4．
∵g（x）=|x+1|+|x-a|≥|x+1-（x-a）|=|a+1|，故g（x）_min=|a+1|，
∴|a+1|≥4，∴a+1≥4，或a+1≤-4，求得a≥3，或a≤-5，
故要求的a的范圍為{x|a≥3，或a≤-5 }．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解，屬于基礎(chǔ)題．