Question

6．已知拋物線E：x²=2py（p＞0），直線y=kx+2與E交于A，B兩點，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2，其中O為原點．
（1）求拋物線E的方程；
（2）當 k=1時，求弦長|AB|

Answer 1

分析 （1）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得p，求得拋物線方程；
（2）由（1）可知，利用弦長公式即可求得弦長|AB|．

解答 解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，整理得x²-2pkx-4p=0，
其中△=4p²k²+16p＞0，
則x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-4p，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+$\frac{{x}_{1}^{2}}{2p}$•$\frac{{x}_{2}^{2}}{2p}$=-4p+4，
由已知，-4p+4=2，解得p=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線E的方程為x²=y；
（2）由（1）可知：x₁+x₂=1，x₁x₂=-2，
則丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=3$\sqrt{2}$，
弦長|AB|=3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的標準方程，韋達定理，弦長公式及向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．