Question

13．已知函數(shù)f（x）=（x-1）sinx+2cosx+x．
（ I）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程．
（ II）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程即可得到所求切線的方程；
（Ⅱ）由f′（x）=1-sinx+（x-1）cosx，令g（x）=1-sinx+（x-1）cosx，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得極值點(diǎn)，計(jì)算極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可得到所求最值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=（x-1）sinx+2cosx+x的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=sinx+（x-1）cosx-2sinx+1=1-sinx+（x-1）cosx，
可得曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線斜率為k=1-0-1=0，
切點(diǎn)為（0，2），
可得切線的方程為y=2；
（Ⅱ）由f′（x）=1-sinx+（x-1）cosx，
令g（x）=1-sinx+（x-1）cosx，
可得g′（x）=-cosx+cosx-（x-1）sinx=（1-x）sinx，
由0＜x＜1可得g（x）遞增；1＜x＜π可得g（x）遞減，
則g（1）=1-sin1＞0，g（0）=0，g（π）=2-π，g（$\frac{π}{2}$）=0，
則f′（x）在[0，π]的零點(diǎn)為0，$\frac{π}{2}$，
由f（0）=2，f（$\frac{π}{2}$）=π-1，f（π）=π-2，
可得f（x）的最大值為π-1，最小值為π-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)性、最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．