Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（3）若斜率為k的直線與曲線y=f′（x）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，求證：${x}_{1}＜\frac{1}{k}＜{x}_{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)極值與最值的求解方法，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個(gè)極值，那么極小值就是最小值；
（2）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)Fˊ（x），討論a在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式Fˊ（x）＞0和Fˊ（x）＜0即可求得；
（3）要證：${x}_{1}＜\frac{1}{k}＜{x}_{2}$，即證x₁＜$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$＜x₂，等價(jià)于證1＜$\frac{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1}{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$＜$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，則只要證1＜$\frac{t-1}{lnt}$＜t，由t＞1知lnt＞0，故等價(jià)于證lnt＜t-1＜tlnt（t＞1）即可．

解答 解：（1）：f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$．
∵當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$ln$\frac{1}{e}$=-$\frac{1}{e}$
（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），F(xiàn)′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$．
①當(dāng)a≥0時(shí)，恒有F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，
令F′（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$；
令F′（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得x＞$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$．
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）上單調(diào)遞增，在（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）上單調(diào)遞減．
（3）證明：k=$\frac{f′（{x}_{2}）-f′（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
要證：${x}_{1}＜\frac{1}{k}＜{x}_{2}$，即證x₁＜$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$＜x₂，等價(jià)于證1＜$\frac{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1}{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$＜$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，
則只要證1＜$\frac{t-1}{lnt}$＜t，由t＞1知lnt＞0，故等價(jià)于證lnt＜t-1＜tlnt（t＞1）（*）．
①設(shè)g（t）=t-1-lnt（t≥1），則g′（t）=1-$\frac{1}{t}$，故g（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）=t-1-lnt＞g（1）=0，即t-1＞lnt（t＞1）．
②設(shè)h（t）=tlnt-（t-1）（t≥1），則h′（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)t＞1時(shí)，h（t）=tlnt-（t-1）＞h（1）=0，即t-1＜tlnt（t＞1）．
由①②知（*）成立，得證．

點(diǎn)評 本題中對函數(shù)單調(diào)性的分類討論、構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式都是難點(diǎn)，對綜合能力的考查達(dá)到了相當(dāng)?shù)母叨龋?/p>