Question

6．設函數f（x）=2lnx+x²-2ax（a＞0）．
（Ⅰ）若函數f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為0，求實數a的值；
（Ⅱ）若x₁，x₂（x₁＜x₂）是函數f（x）的兩個極值點，且f（x₁）-f（x₂）＞m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導數，分類討論，確定函數的單調性，利用函數f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為0，求實數a的值；
（Ⅱ）f（x₁）-f（x₂）=（2lnx₁+x₁²-2ax₁）-（2lnx₂+x₂²-2ax₂）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$-x₁²+2lnx₁²，令x₁²=t，則t＞1，g（t）=$\frac{1}{t}$-t-2lnt，x，求導，確定函數的單調性，求最值，即可求實數m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{2（{x}^{2}-ax+1）}{x}$，
0＜a≤2，f′（x）≥0，f（x）在區(qū)間[1，2]上單調遞增，∴f（x）_min=f（1）=1-2a=0，∴a=$\frac{1}{2}$；
a＞2，令f′（x）=0，則x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，
2＜a＜$\frac{5}{2}$，x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$＜1，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$∈（1，2），
∴函數在（1，x₁）內單調遞減，在（x₁，2）內單調遞增，
∴f（x）_min=f（x₁）＜f（1）=1-2a＜0．
a≥$\frac{5}{2}$，x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$$≤\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$≥2，
∴函數在（1，2）內單調遞減，∴f（x）_min=f（2）=2ln2+4-4a=0．
∴a=$\frac{1}{2}$ln2+1＜$\frac{5}{2}$（舍去）
綜上所述，a=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）x₁，x₂是f′（x）=$\frac{2（{x}^{2}-ax+1）}{x}$在（0，+∞）內的兩個零點，是方程x²-ax+1=0的兩個正根，
∴x₁+x₂=a＞0，x₁x₂=1，△＞0，∴a＞2，∴x₁＞1
∴f（x₁）-f（x₂）=（2lnx₁+x₁²-2ax₁）-（2lnx₂+x₂²-2ax₂）=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$-x₁²+2lnx₁²，
令x₁²=t，則t＞1，g（t）=$\frac{1}{t}$-t-2lnt，
∴g′（t）=-$\frac{（t-1）^{2}}{t}$＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上單調遞減，
∴g（t）＞g（1）=0，
∴m≤0．

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的單調性與最值，正確構造函數，合理求導是關鍵．