Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=1nx+$\frac{a}{x-1}$（a＞0）．
（I）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{e}$）內(nèi)有極值點，當(dāng)x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）時，求證：f（x₂）-f（x₁）值不小于4（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）得到f（x₁）≤f（α）=lnα+$\frac{a}{α-1}$，f（x₂）≥f（β）=lnβ+$\frac{a}{β-1}$，
問題轉(zhuǎn)化為f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α），根據(jù)αβ=1，α+β=a+2，求出f（β）-f（α ）的解析式，記h（β）=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$（β＞e），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 （1）解：當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=lnx+$\frac{1}{2（x-1）}$（x＞0且x≠1），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{（x-1）^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}-5x+2}{2x（x-1）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{2}$或2，
列表如下：

x	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，1）	（1，2）	2	（ 2，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↑		↓	↓		↑

由表格可知函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間遞增區(qū)間為：（0，$\frac{1}{2}$），（2，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為：（$\frac{1}{2}$，1），（1，2）；
（2）證明：由f′（x）＞0，可得0＜x＜α或x＞β；由f′（x）＜0，可得α＜x＜1或1＜x＜β
∴f（x）在（0，α）內(nèi)遞增，在（α，1）內(nèi)遞減，在（1，β）內(nèi)遞減，在（β，+∞）遞增
由x₁∈（0，1），可得f（x₁）≤f（α）=lnα+$\frac{a}{α-1}$，
由x₂∈（1，+∞），可得f（x₂）≥f（β）=lnβ+$\frac{a}{β-1}$，
∴f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α）
∵αβ=1，α+β=a+2，
∴f（β）-f（α ）=2lnβ+a×$\frac{α-β}{（α-1）（β-1）}$
=2lnβ+a×$\frac{\frac{1}{β}-β}{2-（a+2）}$=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$，
記h（β）=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$（β＞e），
則h′（β）=$\frac{2}{β}$+1+$\frac{1}{{β}^{2}}$＞0，h（β）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（β）＞h（e）=e+2-$\frac{1}{e}$，
∴f（x₂）-f（x₁）＞e+2-$\frac{1}{e}$≥4．
則f（x₂）-f（x₁）值不小于4．

點評 本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值與單調(diào)性，考查不等式的證明，綜合性比較強．