Question

4．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{\sqrt{3}}{sin（θ+\frac{π}{3}）}$，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$，（φ為參數(shù)）
（1）寫(xiě)出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$得到曲線C’，求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{\sqrt{3}}{sin（θ+\frac{π}{3}）}$，展開(kāi)為：ρ$（\frac{1}{2}sinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）$=$\sqrt{3}$，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$，（φ為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去參數(shù)φ可得普通方程
（2）由伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$得到$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入方程：x²+y²=4．可得方程．求出圓心（0，0）到直線l的距離，利用弦長(zhǎng)公式即可得出直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{\sqrt{3}}{sin（θ+\frac{π}{3}）}$，展開(kāi)為：ρ$（\frac{1}{2}sinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）$=$\sqrt{3}$，化為直角坐標(biāo)方程：$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$=0．
曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$，（φ為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去參數(shù)φ可得普通方程：x²+y²=4．
（2）由伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$得到$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=2{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入方程：x²+y²=4．可得：（x′）²+4（y′）²=4，可得方程：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)=2$\sqrt{4-（\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}）^{2}}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓的相交弦長(zhǎng)關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、坐標(biāo)變換，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．