Question

16．為響應(yīng)市政府“綠色出行”的號召，王老師每個工作日上下班由自駕車改為選擇乘坐地鐵或騎共享單車這兩種方式中的一種出行．根據(jù)王老師從2017年3月到2017年5月的出行情況統(tǒng)計可知，王老師每次出行乘坐地鐵的概率是0.4，騎共享單車的概率
是0.6．乘坐地鐵單程所需的費用是3元，騎共享單車單程所需的費用是1元．記王老師在一個工作日內(nèi)上下班所花費的總交通費用為X元，假設(shè)王老師上下班選擇出行方式是相互獨立的．
（I）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；
（II）已知王老師在2017年6月的所有工作日（按22個工作日計）中共花費交通費用110元，請判斷王老師6月份的出行規(guī)律是否發(fā)生明顯變化，并依據(jù)以下原則說明理由．
原則：設(shè)a表示王老師某月每個工作日出行的平均費用，若|a-E（X）≥$\sqrt{\frac{D（X）}{5}}$，則有95%的把握認為王老師該月的出行規(guī)律與前幾個月的出行規(guī)律相比有明顯變化．（注：D（X）=$\sum_{i=1}^{n}$（x_i-E（X））²p_i）

Answer 1

分析 （I）依題意知X的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，
寫出分布列，計算數(shù)學(xué)期望值；
（II）根據(jù)題意，計算|a-E（X）|與$\sqrt{\frac{D（X）}{5}}$的值，比較得出結(jié)論．

解答 解：（I）依題意，X可能的取值是2，4，6，因此X的分布列為：

X	2	4	6
P	0.36	0.48	0.16

由此可知，X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=2×0.36+4×0.48+6×0.16=3.6；  …（5分）
（II）判斷：有95%的把握認為王老師該月的出行規(guī)律與3～5月的出行規(guī)律相比有明顯變化，…（6分）
理由如下：
∵6月共有22個工作日，共花費交通費用110元，
∴平均每天出行的費用a=$\frac{110}{22}$=5（元）．   …（7分）
又D（X）=（2-3.6）²×0.36+（4-3.6）²×0.48+（6-3.6）²×0.16=1.92，…（8分）
則|a-E（X）|=|5-3.6|=1.4＞$\sqrt{\frac{1.92}{5}}$．
∴有95%的把握認為王老師該月的出行規(guī)律與3～5月的出行規(guī)律相比有明顯變化．    …（9分）

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，是中檔題．