6．點M為棱長是$2\sqrt{2}$的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球O球面上的動點，點N為B1C1的中點，若滿足DM⊥BN，則動點M的軌跡的長度為$\frac{{4\sqrt{10}π}}{5}$．

分析 直線DM在過點D且與BN垂直的平面內(nèi)．又點M在內(nèi)接球的球面上，故點M的軌跡是正方體的內(nèi)切球與過D且與BN垂直的平面相交得到的小圓，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)BB1的中點E，CE為DM在平面B1C1CB中的射影，直線DM在過點D且與BN垂直的平面內(nèi)．
又點M在內(nèi)接球的球面上，
故點M的軌跡是正方體的內(nèi)切球與過D且與BN垂直的平面相交得到的小圓，
即點M的軌跡為過D，C，E的平面與內(nèi)切球的交線．
由等面積$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×h=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$，
求得點O到此平面的距離為$\frac{\sqrt{10}}{5}$，截得小圓的半徑為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
所以以點P的軌跡的長度為$\frac{{4\sqrt{10}π}}{5}$，
故答案為$\frac{{4\sqrt{10}π}}{5}$．

點評 本題考查了學(xué)生的空間想象力，求出點M的軌跡是關(guān)鍵，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x＜2}\\{sin（\frac{π}{4}x），2≤x≤10}\end{array}\right.$，若存在實數(shù)x1，x2，x3，x4滿足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，則$\frac{（{x}_{3}-1）•（{x}_{4}-1）}{{x}_{1}•{x}_{2}}$的取值范圍是（　　）
A．（9，21）B．（20，32）C．（8，24）D．（15，25）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

16．如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，E為SA的中點，SB=2，BC=3，$SC=\sqrt{13}$．
（Ⅰ）求證：SC∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：平面ABCD⊥平面SAB．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

14．設(shè)平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=6，∠ABC=60°，則平行四邊形ABCD的面積為12$\sqrt{3}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

1．動直線l：y=kx-k+1（k∈R）經(jīng)過的定點坐標(biāo)為（1，1），若l和圓C：x2+y2=r2恒有公共點，則半徑r的最小值是$\sqrt{2}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．已知角θ的終邊上一點P（$\sqrt{2}$，m），且sinθ=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$m，求cosθ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

18．f（n）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$（n∈N*），計算f（2）=$\frac{3}{2}$，f（4）＞2，f（8）＞$\frac{5}{2}$，f（16）＞3，f（32）＞$\frac{7}{2}$，推測當(dāng)n≥2時，有f（2n）≥$\frac{n+2}{2}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．函數(shù)f（x）=6cos2$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωx-3（ω＞0）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B，C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．
（1）求ω的值及函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（x0）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，且x0∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$），求f（x0+1）的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

16．已知函數(shù)f（x）=（2-x）ex-ax-a，若不等式f（x）＞0恰有兩個正整數(shù)解，則a的取值范圍是（　�。�
A．[-$\frac{1}{4}$e3，0）B．[-$\frac{1}{2}$e，0）C．[-$\frac{1}{4}$e3，$\frac{e}{2}$）D．[-$\frac{1}{4}$e3，2）

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案