Question

15．函數(shù)f（x）=6cos²$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωx-3（ω＞0）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B，C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．
（1）求ω的值及函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（x₀）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，且x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$），求f（x₀+1）的值．

Answer 1

分析 （1）將f（x）化簡為f（x）=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），利用正弦函數(shù)的周期公式與性質可求ω的值及函數(shù)f（x）的值域；
（2）由x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$），知$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），由f（x₀）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，可求得sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，利用兩角和的正弦公式即可求得f（x₀+1）．

解答 解：（1）由已知可得，f（x）=3cosωx+$\sqrt{3}$sinωx=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
又正三角形ABC的高為2$\sqrt{3}$，從而BC=4，
∴函數(shù)f（x）的周期T=4×2=8，即$\frac{2π}{ω}$=8，ω=$\frac{π}{4}$，
∴函數(shù)f（x）的值域為[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．
（2）∵f（x₀）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，由（1）有f（x₀）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，
即sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，由x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$），知$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{5}$．
∴f（x₀+1）=2$\sqrt{3}$sin[（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]=2$\sqrt{3}$[sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{4}$]
=2$\sqrt{3}$（$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{7\sqrt{6}}{5}$．

點評 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，著重考查三角函數(shù)的化簡求值與正弦函數(shù)的性質，考查分析轉化與運算能力，屬于中檔題．