Question

2．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）在一個(gè)周期上的圖象如圖所示，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若$f（\frac{α}{2}+\frac{7π}{12}）=\frac{{3\sqrt{3}}}{5}，α∈[-\frac{5π}{2}，-2π]$，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，從而求得函數(shù)的解析式．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（3）由條件求得cosα的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinα的值．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）在一個(gè)周期上的圖象，
可得A=$\sqrt{3}$，$\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{6}$+$\frac{π}{6}$，∴ω=2，
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2•$\frac{π}{3}$+φ=0，∴ω=-$\frac{2π}{3}$，∴$f（x）=\sqrt{3}sin（2x-\frac{2π}{3}）$．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{7π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{13π}{12}$，可得函數(shù)的減區(qū)間為$[{\frac{7π}{12}+kπ，\frac{13π}{12}+kπ}]k∈Z$．
（3）若$f（\frac{α}{2}+\frac{7π}{12}）=\frac{{3\sqrt{3}}}{5}，α∈[-\frac{5π}{2}，-2π]$，則$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{7π}{6}$-$\frac{2π}{3}$）=$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{3}$cosα=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，
∴cosα=$\frac{3}{5}$，∴sinα=-$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=-$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值．還考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．