Question

10．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，BC=AA₁=2，∠ABC=$\frac{π}{3}$，則異面直線B₁A與C₁B所成角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{13}}{13}$
• B． $\frac{\sqrt{13}}{26}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{52}$
• D． $\frac{\sqrt{26}}{52}$

Answer 1

分析 連接B₁C交BC₁于E，連接DE，利用四邊形BCC₁B₁是平行四邊形及其三角形的中位線定理證明DE∥AB₁，可得∠DEB或其補角為異面直線AB₁與BC₁所成的角，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：如圖所示，取AC中點D，連接B₁C交BC₁于E，連接DE，
∵四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，∴B₁E=EC．
又AD=DC．∴DE∥AB₁，
∴∠DEB或其補角為異面直線AB₁與BC₁所成的角，
DE=$\frac{1}{2}A{B}_{1}$=$\frac{\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∵$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，∴${\overrightarrow{BD}}^{2}=\frac{1}{4}（{\overrightarrow{BA}}^{2}+{\overrightarrow{BC}}^{2}+2\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}）$，∴DB=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
BE=$\frac{1}{2}B{C}_{1}=\sqrt{2}$
在△DEB中，由余弦定理得DB²=BE²+DE²-2BE•DEcos∠DEB，
$\frac{19}{4}$=$\frac{13}{4}$+2-2×$\frac{\sqrt{13}}{2}×\sqrt{2}$×cos∠DEB，解得cos∠DEB=$\frac{\sqrt{26}}{52}$；
∴則異面直線B₁A與C₁B所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{26}}{52}$．
故選：D．

點評 本題考查了空間中的兩條異面直線所成角的計算問題，也考查了空間中的平行關(guān)系應(yīng)用問題，是中檔題．