Question

4．已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），對于定義域內(nèi)任意x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y），且函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)．
（Ⅰ）求$f（1），f（a）+f（{\frac{1}{a}}）$的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的零點；
（Ⅲ）求滿足不等式f（2m+1）+f（m）＞0的實數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）特殊值法：令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，令x=a，y=$\frac{1}{a}$，求解即可；
（Ⅱ）函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，可判斷函數(shù)有唯一零點，即x=1；
（Ⅲ）根據(jù)條件f（2m+1）+f（m）＞0，可得f（2m+1）+f（m）＞f（1），根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性可得（m+1）（2m-1）＜0，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，f（xy）=f（x）+f（y）
令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，
令x=a，y=$\frac{1}{a}$，
∴f（a）+f（$\frac{1}{a}$）=f（1）=0；
（Ⅱ）∵函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，
∵f（1）=0，
∴在定義域內(nèi)只有一個零點x=1；
（Ⅲ）f（2m+1）+f（m）＞0，
∴f（2m+1）+f（m）＞f（1），
∴（m+1）（2m-1）＜0，
∴-1＜m＜$\frac{1}{2}$，
∵m＞0，
∴0＜m＜$\frac{1}{2}$

點評 考查了抽象函數(shù)的特殊值法應(yīng)用和利用函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題．