Question

2．已知曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosϕ}\\{y=sinϕ}\end{array}}$（ϕ為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程是ρ（tanα•cosθ-sinθ）=1．（其中α為常數(shù)，α∈（0，π），且α≠$\frac{π}{2}$），點A，B（A在x軸下方）是曲線C₁與C₂的兩個不同的交點．
（1）求曲線C₁的普通方程與C₂的直角坐標方程；
（2）求|AB|的最大值及此時點B的直角坐標．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出曲線C₁的普通方程．由曲線C₂的極坐標方程能求出曲線C₂的直角坐標方程．
（2）曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$，（t是參數(shù)），設A（t₁cosα，-1+t₁sinα），B（t₂cosα，-1+t₂sinα），把曲線C₂的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，得：t²（1+3sin²α）-8tsinα=0，由此利用韋達定理，結合均值不等式，能求出|AB|的最大值及此時B點坐標．

解答 解：（1）∵曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosϕ}\\{y=sinϕ}\end{array}}$（ϕ為參數(shù)），
∴曲線C₁消去參數(shù)，得到曲線C₁的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
∵曲線C₂的極坐標方程是ρ（tanα•cosθ-sinθ）=1．（其中α為常數(shù)，α∈（0，π），且α≠$\frac{π}{2}$），
∴曲線C₂的直角坐標方程為：tanα•x-y=1．
（2）由（1）得曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$，（t是參數(shù)），
設A（t₁cosα，-1+t₁sinα），B（t₂cosα，-1+t₂sinα），
把曲線C₂的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
整理，得：t²（1+3sin²α）-8tsinα=0，
∴${t}_{1}=0，{t}_{2}=\frac{8sinα}{1+3si{n}^{2}α}$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\frac{8|sinα|}{1+3si{n}^{2}α}$=$\frac{8}{3|sinα|+\frac{1}{|sinα|}}$≤$\frac{8}{2\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
當且僅當sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$取等號，
當sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，∵0＜α＜π，且$α≠\frac{π}{2}$，∴cos$α=±\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴B（$±\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∴|AB|的最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，此時B點坐標為（$±\frac{4\sqrt{2}}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

點評 本題考查參數(shù)方程化為普通方程的求法，考查弦長的最大值及對應的點坐標的求法，考查韋達定理、均值不等式、直角坐標方程、極坐標方程、參數(shù)方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．