Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n是2與S_n的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若$_{n}=\frac{2n-1}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得2a_n=2+S_n，得到2a_n-1=2+S_n-1（n≥2），兩式作差可得數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入$_{n}=\frac{2n-1}{{a}_{n}}$，再由錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n是2與S_n的等差中項(xiàng)，
∴2a_n=2+S_n，
∴2a_n-1=2+S_n-1（n≥2），
兩式作差得：2a_n-2a_n-1=a_n，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=2$（n≥2）．
又2a₁=2+a₁，∴a₁=2．
則數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}={2}^{n}$；
（Ⅱ）$_{n}=\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．
∴${T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}+\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+\frac{5}{{2}^{4}}+…+\frac{2n-3}{{2}^{n}}+\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$．
兩式作差得：$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{2}{{2}^{n}}-\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}+2（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）-\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}+2×\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}-\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$．
∴${T}_{n}=3-\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．