9．已知點O是△ABC的內(nèi)心，∠BAC=60°，BC=1，則△BOC面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

分析 先根據(jù)O是△ABC的內(nèi)心，求出∠BOC=120°，再根據(jù)余弦定理和基本不等式求出OC•OB≤$\frac{1}{3}$，最后根據(jù)三角形的面積公式計算即可

解答 解：∵是△ABC的內(nèi)心，∠BAC=60°，
∴∠BOC=180°-$\frac{180°-60°}{2}$=120°，
由余弦定理可得BC2=OC2+OB2-2OC•OB•cos120，
即OC2+OB2=1-OC•OB，
又OC2+OB2≥2OC•OB，
∴OC•OB≤$\frac{1}{3}$，
∴S△BOC=$\frac{1}{2}$OC•OB•sin120°≤$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
則△BOC面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{12}$．

點評 本題考查了余弦定理和三角形的面積公式以及基本不等式，屬于基礎(chǔ)題

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

19．已知函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx+3，其中b，c∈R，若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為3x+y=0，則f（2）=-1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

20．已知（1+i）（1+ai）=2，則實數(shù)a的值為-1．

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17．若$α，β∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，且αsinα-βsinβ＞0，則下列關(guān)系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2其中正確的序號是：④．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

4．已知函數(shù)f（x）=（mx2-x+m）e-x（m∈R）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當m＞0時，證明：不等式f（x）≤$\frac{m}{x}$在（0，1+$\frac{1}{m}$]上恒成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

14．在區(qū)間[-1，1]上任取一個數(shù)a，則曲線y=x2+x在點x=a處的切線的傾斜角為銳角的概率為$\frac{3}{4}$．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

1．如圖，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右頂點為A（2，0），左、右焦點分別為F1、F2，過點A且斜率為$\frac{1}{2}$的直線與y軸交于點P，與橢圓交于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為點F1．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過點P的直線與橢圓交于M，N兩點（M，N不與A，B重合），若S△PAM=6S△PBN，求直線MN的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：選擇題

18．設(shè)a，b，c是三條不同的直線，α，β，λ是三個不同的平面，有下列命題：
①若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；  
②若α⊥β，β⊥γ，則α⊥γ；
③若a∥b，a∥α，則b∥α；   
④若a⊥α，a∥b，b∥β，則α⊥β．
其中，真命題的個數(shù)為（　�。�
A．0B．1C．2D．3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

19．已知圓F1：（x+1）2+y2=9，圓F2：（x-1）2+y2=1，動圓P與圓F1內(nèi)切，與圓F2外．O為坐標原點．
（Ⅰ）求圓心P的軌跡C的方程．
（Ⅱ）直線l：y=kx-2與曲線C交于A，B兩點，求△OAB面積的最大值，以及取得最大值時直線l的方程．

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