Question

13．若$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$是兩個不共線的非零向量，
（1）若$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$起點相同，則實數(shù)t為何值時，$\overrightarrow{a}$、t$\overrightarrow b$、$\frac{1}{3}$$（\overrightarrow a+\vec b）$三個向量的終點A，B，C在一直線上？
（2）若|$\overrightarrow a$|=|$\overrightarrow b$|，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$夾角為60°，則實數(shù)t為何值時，|$\overrightarrow a-t\overrightarrow b$|的值最�。�

Answer 1

分析 （1）由三點A，B，C共線，必存在一個常數(shù)t使得$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{AC}$，由此等式建立起關(guān)于λ，t的方程求出t的值；
（2）由題設(shè)條件，可以把|$\overrightarrow a-t\overrightarrow b$|的平方表示成關(guān)于實數(shù)t的函數(shù)，根據(jù)所得的函數(shù)判斷出它取出最小值時的x的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}=t\vec b-\vec a$，$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\vec b-\frac{2}{3}\vec a$，
∵$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{AC}$，即$\overrightarrow{AB}=λ\overrightarrow{AC}$
∴$t\vec b-\vec a=λ（{\frac{1}{3}\vec b-\frac{2}{3}\vec a}）$，可得$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}t=\frac{1}{3}λ\\-1=-\frac{2}{3}λ\end{array}\right.\end{array}$∴$t=\frac{1}{2}$；
故存在t=$\frac{1}{2}$時，A、B、C三點共線；
（2）設(shè)|$\overrightarrow a$|=|$\overrightarrow b$|=k
|$\overrightarrow a-t\overrightarrow b$|²=|$\overrightarrow a$|²+t²|$\overrightarrow b$|²-2t|$\overrightarrow a$||$\overrightarrow b$|cos60°=k²（t²-t+1）=k²（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
∴$t=\frac{1}{2}$時，|$\overrightarrow a-t\overrightarrow b$|的值最�。�

點評 本題考查平面向量的綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量共線的坐標表示，向量的模的坐標表示．．本題把三點共線轉(zhuǎn)化為了向量共線，將模的最小值求參數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，解題時要注意恰當?shù)剡\用轉(zhuǎn)化、化歸這一數(shù)學思想，屬于中檔題．