Question

2．已知函數(shù)f（x）=x-1-mlnx（m∈R），f（x）≥0恒成立，則m的值為（-∞，0]．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出m≤$\frac{x-1}{lnx}$，設(shè)g（x）=$\frac{x-1}{lnx}$，則${g}^{'}（x）=\frac{lnx+\frac{1}{x}-1}{（lnx）^{2}}$，設(shè)h（x）=lnx+$\frac{1}{x}-1$，則${h}^{'}（x）=\frac{1}{x}（1-\frac{1}{x}）$，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得h（x）_min=h（1）=0，從而h（x）≥0恒成立，進而g′（x）=$\frac{h（x）}{（lnx）^{2}}$≥0恒成立，由此能求出m的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x-1-mlnx（m∈R），f（x）≥0恒成立，
∴x-1-mlnx≥0恒成立，且x＞0，
∴m≤$\frac{x-1}{lnx}$．
設(shè)g（x）=$\frac{x-1}{lnx}$，則${g}^{'}（x）=\frac{lnx+\frac{1}{x}-1}{（lnx）^{2}}$，
設(shè)h（x）=lnx+$\frac{1}{x}-1$，則${h}^{'}（x）=\frac{1}{x}（1-\frac{1}{x}）$，
由h′（x）=0，得x=1，
當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，
∴h（x）_min=h（1）=0，∴h（x）≥0恒成立，
∴g′（x）=$\frac{h（x）}{（lnx）^{2}}$≥0恒成立，
∴m≤$\underset{lim}{x→0}\frac{x-1}{lnx}$=0．
故答案為：（-∞，0]．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性、構(gòu)造法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．