Question

5．已知函數(shù)f（x）=mx²-mx-1
（1）若對于x∈R，f（x）＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若?x∈[1，3]使得f（x）＜5-m成立，求實數(shù)m的取值范圍．
（3）解關(guān)于x的不等式f（x）≤x-2（m≠0）

Answer 1

分析 （1）通過討論m的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x-1}$在[1，3]有解，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為（x-1）（mx-1）≤0，通過討論m的范圍求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）m=0時，f（x）=-1＜0恒成立，
m≠0時，若f（x）＜0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△{=m}^{2}+4m＜0}\end{array}\right.$，解得：-4＜m＜0，
故m的范圍是（-4，0]；
（2）依題意得：mx²-mx-1＜5-m在[1，3]有解，
$\begin{array}{l}∴（{x^2}-x+1）m＜6\\ 又{x^2}-x+1={（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{3}{4}＞0\\∴m＜\frac{6}{{{x^2}-x+1}}在[{1，3}]有解\\∴m＜（{\;}\right.\frac{6}{{{x^2}-x+1}}{\left.{\;}）_{max}}\end{array}$，
又g（x）=x²-x+1在[1，3]為增函數(shù)，
∴g（x）_min=g（1）=1，
$\begin{array}{l}∴{（{\frac{6}{{{x^2}-x+1}}}）_{max}}=6\\∴m＜6\end{array}$
（3）mx²-mx-1≤x-2（m≠o）
∴mx²-（m+1）x+1≤0（m≠o），
∴（x-1）（mx-1）≤0，
∴$（{x-1}）（{mx-1}）=0的兩根為1，\frac{1}{m}$，
$當m＜0，不等式的解集為（{-∞，\left.{\frac{1}{m}}]}\right.∪[1\right.，+∞）$，
$當o＜m＜1，不等式的解集為[{1，\frac{1}{m}}]$，
當m=1，不等式的解集為{x|x=1}，
$當m＞1，不等式的解集為[{\frac{1}{m}，1}]$．

點評 本題考查函數(shù)恒成立及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，解決恒成立問題的常用方法是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值．