Question

12．已知A、D分別為橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（{a＞b＞0}）$的左頂點與上頂點，橢圓的離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左、右焦點，點P是線段AD上的任意一點，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值為1．
（1）求橢圓E的方程．
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點），若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得橢圓方程為x²+4y²=a²，設(shè)P（x，y），則2x-y=a，y∈[0，$\frac{a}{2}$]，從而$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=${x}^{2}+{y}^{2}-{c}^{2}=5{y}^{2}-4ay+\frac{{a}^{2}}{4}$=5（y-$\frac{2a}{5}$）²-$\frac{11{a}^{2}}{20}$，y∈[0，$\frac{a}{2}$]，當(dāng)y=0時，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的值最大值1，從而得到$\frac{{a}^{2}}{4}=1$，由此能求出橢圓E的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)AB：y=kx+b，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，由此利用韋達(dá)定理、向量垂直、直線與圓相切，結(jié)合已知條件能求出圓的方程．

解答 解：（1）∵A、D分別為橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（{a＞b＞0}）$的左頂點與上頂點，
橢圓的離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左、右焦點，點P是線段AD上的任意一點，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值為1，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，∴橢圓方程為x²+4y²=a²，
設(shè)P（x，y），則2x-y=a，y∈[0，$\frac{a}{2}$]，
$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=${x}^{2}+{y}^{2}-{c}^{2}=5{y}^{2}-4ay+\frac{{a}^{2}}{4}$=5（y-$\frac{2a}{5}$）²-$\frac{11{a}^{2}}{20}$，y∈[0，$\frac{a}{2}$]，
∴當(dāng)y=0時，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的值最大值，
∵$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最大值為1，∴$\frac{{a}^{2}}{4}=1$，解得a²=4，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)AB：y=kx+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，
∴${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8kb}{1+4{k}^{2}}$，
由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）=0，
整理，得：5b²=4（k²+1），即$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
設(shè)存在圓x²+y²=r²與y=kx+b相切，
則$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=r，∴r=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴圓為x²+y²=$\frac{4}{5}$，
當(dāng)直線AB斜率不存在時，檢驗滿足條件，
∴所求圓的方程為x²+y²=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查圓的方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、韋達(dá)定理、向量垂直、直線與圓相切等知識點的合理運(yùn)用．