Question

10．已知點P為雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$右支上的一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線的左、右焦點，點I為△PF₁F₂的內(nèi)心，若${S_{△IP{F_1}}}={S_{△IP{F_2}}}+λ•{S_{△I{F_1}{F_2}}}$成立，則λ的值為$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r，由|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，用△PF₁F₂的邊長和r表示出等式中的三角形的面積，解此等式求出λ．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的a=4，b=3，c=$\sqrt{16+9}$=5，
設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r，
由雙曲線的定義得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
S_{${\;}_{△IP{F}_{1}}$} =$\frac{1}{2}$|PF₁|•r，S${\;}_{△IP{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r，
S_△${\;}_{I{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•2c•r=cr，
由${S_{△IP{F_1}}}={S_{△IP{F_2}}}+λ•{S_{△I{F_1}{F_2}}}$得，
$\frac{1}{2}$|PF₁|•r=$\frac{1}{2}$|PF₂|•r+λcr，
故λ=$\frac{|P{F}_{1}|-|P{F}_{2}|}{2c}$=$\frac{a}{c}$=$\frac{4}{5}$，
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查雙曲線的定義和簡單性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)的值是關(guān)鍵，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．