Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}$+ax，若f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 令f′（x）≤0在（1，+∞）恒成立，分離參數(shù)可得a≤$\frac{1-lnx}{l{n}^{2}x}$在（1，+∞）上恒成立，令lnx=t，不等式轉(zhuǎn)化為a≤$\frac{1-t}{{t}^{2}}$，求出函數(shù)的最小值即可得出a的范圍．

解答 解：f′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}+a$，
∵f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，
即a≤$\frac{1-lnx}{l{n}^{2}x}$在（1，+∞）上恒成立，
令lnx=t，則t＞0，設(shè)g（t）=$\frac{1-t}{{t}^{2}}$，則g′（t）=$\frac{{t}^{2}-2t}{{t}^{4}}$=$\frac{t-2}{{t}^{3}}$，
∴當(dāng)0＜t＜2時，g′（t）＜0，當(dāng)t＞2時，g′（t）＞0，
∴當(dāng)t=2時，g（t）取得最小值g（2）=-$\frac{1}{4}$．
∴a≤-$\frac{1}{4}$．
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{4}$]．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值得計算，函數(shù)恒成立問題研究，屬于中檔題．