Question

5．拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1相交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p的值為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，然后求出拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形是等邊三角形得到p的方程，求出p即可．

解答 解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{p}{2}$），
準(zhǔn)線方程為：y=-$\frac{p}{2}$，
準(zhǔn)線方程與雙曲線聯(lián)立可得：$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{p}^{2}}{12}$=1，
解得x=±$\sqrt{3+\frac{{p}^{2}}{4}}$，
因?yàn)椤鰽BF為等邊三角形，
所以$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|=p，
即有$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2$\sqrt{3+\frac{{p}^{2}}{4}}$=p，
解得p=6．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，雙曲線方程的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題．