Question

17．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且$6{S_n}={3^{n+1}}+a$（a∈N₊）．
（Ⅰ）求a的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=\frac{{{{（-1）}^{n-1}}（2{n^2}+2n+1）}}{{{{（{{log}_3}{a_n}+2）}^2}{{（{{log}_3}{a_n}+1）}^2}}}$，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知數(shù)列遞推式求得首項和a_n（n≥2），再由首項適合通項公式求得a，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入${b_n}=\frac{{{{（-1）}^{n-1}}（2{n^2}+2n+1）}}{{{{（{{log}_3}{a_n}+2）}^2}{{（{{log}_3}{a_n}+1）}^2}}}$，整理后分n為奇數(shù)和偶數(shù)利用裂項相消法求得{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵等比數(shù)列{a_n}滿足$6{S_n}={3^{n+1}}+a$（a∈N₊），
∴當n=1時，6a₁=9+a；
當n≥2時，$6{a_n}=6（{S_n}-{S_{n-1}}）={3^{n+1}}+a-（{3^n}+a）=2×{3^n}$．
∴${a_n}={3^{n-1}}$，
∵n=1時也成立，∴1×6=9+a，解得a=-3，
∴${a_n}={3^{n-1}}$；
（Ⅱ）${b_n}=\frac{{{{（-1）}^{n-1}}（2{n^2}+2n+1）}}{{{{（{{log}_3}{a_n}+2）}^2}{{（{{log}_3}{a_n}+1）}^2}}}$=$\frac{{{{（-1）}^{n-1}}（2{n^2}+2n+1）}}{{{n^2}{{（n+1）}^2}}}$=${（-1）^{n-1}}[{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}}]$．
當n為奇數(shù)時，${T_n}=（\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}）-（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}）+…+[{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}}]=1+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$；
當n為偶數(shù)時，T_n=$（\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}）-（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}）+…-[{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}}]=1-\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$．
綜上，${T_n}=1+{（-1）^{n-1}}\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的前n項和，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．