Question

19．已知函數(shù)$f（x）=Asin（{ωx+ϕ}）（{A＞0，ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}}）$的圖象（部分）如圖所示．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（ II）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （I）由題意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用當x=$\frac{1}{3}$時取得最大值2，求出φ，即可得到函數(shù)的解析式．
（II）由x的范圍，可求πx+$\frac{π}{6}$的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（ I）由圖得：A=2．
由$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}•$$\frac{2π}{ω}$=$\frac{5}{6}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$，解得ω=π．…（4分）
由f（$\frac{1}{3}$）=2sin（$\frac{π}{3}$+Φ）=2，可得$\frac{π}{3}$+Φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得Φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，
又|Φ|＜$\frac{π}{2}$，可得Φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（πx+$\frac{π}{6}$）．…（8分）
（ II）∵x∈$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$，
∴πx+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴-$\sqrt{3}$≤2sin（πx+$\frac{π}{6}$）≤2，即f（x）的最大值為2，最小值為-$\sqrt{3}$…（12分）

點評 本題是基礎題，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質，注意函數(shù)的周期的求法，考查計算能力，�？碱}型．