Question

3．已知關于x，y的方程C：x²+y²-2x-4y+m=0，m∈R．
（1）若方程C表示圓，求m的取值范圍；
（2）若圓C與直線l：4x-3y+7=0相交于M，N兩點，且$|MN|=2\sqrt{5}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）方程C化為：（x-1）²+（y-2）²=5-m，由方程C表示圓，能求出實數(shù)m的取值范圍．
（2）圓的圓心C（1，2），半徑r=$\sqrt{5-m}$，求出圓心C（1，2）到直線l：4x-3y+7=0的距離d=1，由${r}^{2}=fzfl3rz^{2}+（\frac{1}{2}|MN|）^{2}$，能求出m的值．

解答 解：（1）方程C：x²+y²-2x-4y+m=0，m∈R可化為：（x-1）²+（y-2）²=5-m，（2分）
∵方程C表示圓，∴5-m＞0，解得m＜5，
∴m＜5時方程C表示圓．即方程表示圓時，m的取值范圍是（-∞，5）．（4分）
（2）圓的方程化為：（x-1）²+（y-2）²=5-m，
圓心C（1，2），半徑r=$\sqrt{5-m}$，（6分）
則圓心C（1，2）到直線l：4x-3y+7=0的距離為：
d=$\frac{|4×1-3×2+7|}{\sqrt{16+9}}$=1．（8分）
∵$|MN|=2\sqrt{5}$，∴$\frac{1}{2}|MN|=\sqrt{5}$，
∵${r}^{2}=thvln5d^{2}+（\frac{1}{2}|MN|）^{2}$，
∴$5-m={1^2}+{（\sqrt{5}）^2}$…（10分）
解得m=-1．…（12分）

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查實數(shù)值的求法，考查圓、直線方程、點到直線距離公式、勾股定理等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．