5.已知向量$\overrightarrow p=({2,-1}),\overrightarrow q=({x,2})$,且$\overrightarrow p⊥\overrightarrow q$,則$|{\overrightarrow p+λ\overrightarrow q}|({λ∈R})$的最小值為$\sqrt{5}$.

分析 根據(jù)題意,由向量$\overrightarrow{p}$、$\overrightarrow{q}$的坐標以及$\overrightarrow p⊥\overrightarrow q$,分析可得$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=2x-2=0,解可得x=1,進而可得$\overrightarrow{p}$+λ$\overrightarrow{q}$=(2+λ,-1+2λ),由向量模的計算公式可得|$\overrightarrow{p}$+λ$\overrightarrow{q}$|=$\sqrt{(2+λ)^{2}+(-1+2λ)^{2}}$=$\sqrt{5{λ}^{2}+5}$,由二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案.

解答 解:根據(jù)題意,向量$\overrightarrow p=({2,-1}),\overrightarrow q=({x,2})$,且$\overrightarrow p⊥\overrightarrow q$,
則$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=2x-2=0,解可得x=1,
即$\overrightarrow{q}$=(1,2),則$\overrightarrow{p}$+λ$\overrightarrow{q}$=(2+λ,-1+2λ),
則|$\overrightarrow{p}$+λ$\overrightarrow{q}$|=$\sqrt{(2+λ)^{2}+(-1+2λ)^{2}}$=$\sqrt{5{λ}^{2}+5}$≥$\sqrt{5}$,
即$|{\overrightarrow p+λ\overrightarrow q}|({λ∈R})$的最小值為$\sqrt{5}$;
故答案為:$\sqrt{5}$.

點評 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)量積的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性,關(guān)鍵是求出x的值.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

12.為了解喜好體育運動是否與性別有關(guān),某報記者隨機采訪50個路人,將調(diào)查情況進行整理后制成下表:
 年齡(歲)[15,25)[25,35)
 
[35,45)
 15
[45,55)
 
[55,65)
 
[65,75)
 
 頻數(shù) 510  8 10 5 5
 喜好人數(shù) 4 6  6 3
(1)在調(diào)查的結(jié)果中,喜好體育運動的女性有10人,不喜好體育運動的男性有5人,請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜好體育運動與性別有關(guān)?說明你的理由;
  喜好體育運動 不喜好體育運動合計 
 男生  5 
 女生 10  
 合計   50
(2)若從年齡在[15,25),[25,35)的被調(diào)查者中各隨機選取兩人進行追蹤調(diào)查,記選中的4人中不喜好體育運動的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.
下面的臨界值表供參考:
 P(K2≥k)0.15 0.10 0.05  0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706  3.841 5.024 6.6357.879  10.828
(參考公式:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

16.離散型隨機變量ξ的分布列為:
ξ123
pp1p2$\frac{1}{4}$
且Eξ=2,則p1=$\frac{1}{4}$;p2=$\frac{1}{2}$.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

13.已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列{an}(n∈N*),首項a1=3,前n項和為Sn,且S3+a3、S5+a5、S4+a4成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=$\frac{{n{a_n}}}{6},求數(shù)列\(zhòng)left\{{b_n}\right\}的前n項和{T_n}$.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

20.與向量$\overrightarrow a$=(12,5)垂直的單位向量為(  )
A.($\frac{12}{13}$,$\frac{5}{13}$)B.(-$\frac{12}{13}$,-$\frac{5}{13}$)
C.($-\frac{5}{13}$,$\frac{12}{13}$)或($\frac{5}{13}$,-$\frac{12}{13}$)D.(±$\frac{12}{13}$,$\frac{5}{13}$)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

10.在如圖中,O為圓心,A,B為圓周上二點,AB弧長為4,扇形AOB面積為4,則圓心角∠AOB的弧度數(shù)為(  )
A.1B.2C.3D.4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

5.求函數(shù)y=tan(3x-$\frac{π}{4}$)的定義域.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

2.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S9=45,則a5=5.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

3.已知關(guān)于x,y的方程C:x2+y2-2x-4y+m=0,m∈R.
(1)若方程C表示圓,求m的取值范圍;
(2)若圓C與直線l:4x-3y+7=0相交于M,N兩點,且$|MN|=2\sqrt{5}$,求m的值.

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