Question

12．為了解喜好體育運動是否與性別有關，某報記者隨機采訪50個路人，將調查情況進行整理后制成下表：

年齡（歲）	[15，25）	[25，35）	[35，45）  15	[45，55）	[55，65）	[65，75）
頻數(shù)	5	10	8	10	5	5
喜好人數(shù)	4	6		6	3	3

（1）在調查的結果中，喜好體育運動的女性有10人，不喜好體育運動的男性有5人，請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜好體育運動與性別有關？說明你的理由；

	喜好體育運動	不喜好體育運動	合計
男生		5
女生	10
合計			50

（2）若從年齡在[15，25），[25，35）的被調查者中各隨機選取兩人進行追蹤調查，記選中的4人中不喜好體育運動的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．
下面的臨界值表供參考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頻率分布表，計算喜好體育運動和不喜好體育運動的人數(shù)，填寫列聯(lián)表，計算K²，對照臨界值得出結論；
（2）根據(jù)題意知隨機變量X的可能取值，計算對應的概率值，寫出分布列，計算數(shù)學期望值．

解答 解：（1）根據(jù)頻率分布表知，喜好體育運動的人數(shù)為30，則不喜好體育運動的人數(shù)為20，
填寫2×2列聯(lián)表如下：

	喜好體育運動	不喜好體育運動	合計
男生	20	5	25
女生	10	15	25
合計	30	20	50

根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{50{×（20×15-10×5）}^{2}}{30×20×25×25}$=3＜7.879，
對照臨界值知，在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，不能認為喜好體育運動與性別有關；
（2）從年齡在[15，25），[25，35）的被調查者中各隨機選取兩人進行追蹤調查，
記選中的4人中不喜好體育運動的人數(shù)為X，
依題意得X=0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{15}{75}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{34}{75}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$+$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{22}{75}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{4}{75}$，
∴X的分布列是：

X	0	1	2	3
P	$\frac{15}{75}$	$\frac{34}{75}$	$\frac{22}{75}$	$\frac{4}{75}$

∴X的數(shù)學期望EX=0×$\frac{15}{75}$+1×$\frac{34}{75}$+2×$\frac{22}{75}$+3×$\frac{4}{75}$=$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗與離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的計算問題，是中檔題．