Question

18．已知f（x）的定義域是（0，+∞），f'（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足f（x）＞f'（x），則不等式e^x+2•f（x²-x）＞e^x2•f（2）的解集是（-1，0）∪（1，2）．

Answer 1

分析 構(gòu)造新函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，通過(guò)求導(dǎo)得到g（x）的單調(diào)性，所解的不等式轉(zhuǎn)化為求g（x²-x）＞g（2），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到不等式，解出即可．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，（x＞0），則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
由e^x+2•f（x²-x）＞e^x2•f（2）得：e^x•e²•f（x²-x）＞e^x2•f（2），
得：$\frac{f{（x}^{2}-x）}{{e}^{{x}^{2}-x}}$＞$\frac{f（2）}{{e}^{2}}$，
∴g（x²-x）＞g（2），
∴0＜x²-x＜2，解得：-1＜x＜0或1＜x＜2，
故答案為：（-1，0）∪（1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．