Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O₁：（x+1）²+y²=1和O₂：（x-1）²+y²=9，動圓P與圓O₁外切，與圓O₂內(nèi)切．
（Ⅰ）求圓心P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過A（-2，0）作兩條互相垂直的直線l₁，l₂分別交曲線E于M，N兩點，設(shè)l₁的斜率為k（k＞0），△AMN的面積為S，求$\frac{S}{k}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的定義，即可求圓心P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）求出$\frac{S}{k}$，利用換元法，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)動圓P的半徑為r，則|PO₁|=r+1，|PO₂|=3-r，
所以|PO₁|+|PO₂|=4，…（3分）
所以P的軌跡為橢圓，2a=4，2c=2，所以$a=2，c=1，b=\sqrt{3}$，
所以橢圓的方程為 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（x≠-2）$．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)M點坐標(biāo)為（x₀，y₀），直線l₁的方程為y=k（x+2），代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
可得，（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
${x_0}×（-2）=\frac{{16{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，所以${x_0}=\frac{{6-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，…（7分）
所以$|AM|=\sqrt{1+{k^2}}（\frac{{6-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+2）=\sqrt{1+{k^2}}\frac{12}{{3+4{k^2}}}$
同理$|AN|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\frac{{12{k^2}}}{{3{k^2}+4}}$…（8分）
所以$S=\frac{1}{2}|AM|×|AN|=\frac{1}{2}×\sqrt{1+{k^2}}\frac{12}{{3+4{k^2}}}×\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\frac{{12{k^2}}}{{3{k^2}+4}}$，
$\frac{S}{k}=\frac{{72（{k^2}+1）}}{{（3{k^2}+4）（4{k^2}+3）}}$…（10分）
令k²+1=t＞1，
$\frac{S}{k}=\frac{{72（{k^2}+1）}}{{（3{k^2}+4）（4{k^2}+3）}}=\frac{72t}{（4t-1）（3t+1）}=\frac{72}{{12t+1-\frac{1}{t}}}$
所以$\frac{S}{k}∈（0，6）$…（12分）

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．