Question

1．甲、乙兩家網(wǎng)絡(luò)公司，1993年的市場占有率均為A，根據(jù)市場分析與預(yù)測，甲、乙公司自1993年起逐年的市場占有率都有所增加，甲公司自1993年起逐年的市場占有率都比前一年多$\frac{A}{2}$，乙公司自1993年起逐年的市場占有率如圖所示：
（I）求甲、乙公司第n年市場占有率的表達(dá)式；
（II）根據(jù)甲、乙兩家公司所在地的市場規(guī)律，如果某公司的市場占有率不足另一公司市場占有率的20%，則該公司將被另一公司兼并，經(jīng)計算，2012年之前，不會出現(xiàn)兼并局面，試問2012年是否會出現(xiàn)兼并局面，并說明理由．

Answer 1

分析 （I）由{a_n}是以a₁=A為首項，以$d=\frac{A}{2}$為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式即可求得a_n，{b_n}是以a₂=A為首項，以$\frac{A}{2}$為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項和公式即可求得b_n；
（II）由${a_{20}}=\frac{A}{2}×20+\frac{A}{2}=\frac{21}{2}A＞10A$，則$\frac{{{b_{20}}}}{{{a_{20}}}}＜\frac{2A}{10A}=20%$，即b₂₀＜20%•a₂₀，則2012年會出現(xiàn)乙公司被甲公司兼并的局面．

解答 解：（I）設(shè)甲公司第n年市場占有率為a_n，
依題意，{a_n}是以a₁=A為首項，以$d=\frac{A}{2}$為公差的等差數(shù)列．（2分）
∴${a_n}=A+（n-1）•\frac{A}{2}=\frac{A}{2}n+\frac{A}{2}$．（3分）
設(shè)乙公司第n年市場占有率為b_n，
根據(jù)圖形可得：${b_n}=A+\frac{1}{2}A+\frac{1}{2^2}A+\frac{1}{2^3}A+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}A$（5分）
=$（{2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）A$．
∴甲公司第n年市場占有率a_n=$\frac{A}{2}$n+$\frac{A}{2}$，乙公司第n年市場占有率b_n=$（{2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}}）A$（6分）
（II）依題意，2012年為第20年，則${a_{20}}=\frac{A}{2}×20+\frac{A}{2}=\frac{21}{2}A＞10A$，
${b_{20}}=（2-\frac{1}{{{2^{19}}}}）A＜2A$，（9分）
∴$\frac{{{b_{20}}}}{{{a_{20}}}}＜\frac{2A}{10A}=20%$，即b₂₀＜20%•a₂₀，（11分）
∴2012年會出現(xiàn)乙公司被甲公司兼并的局面．（12分）

點評 本題考查等差數(shù)列及等比數(shù)列模型，考查等差數(shù)列及等比數(shù)列前n項和公式，考查計算能力，屬于中檔題．