Question

2．已知函數(shù)f（x）=2clnx-x²（c∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若c=1，設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-mx的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，且0＜x₁＜x₂，又y=g'（x）是y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若正常數(shù)a，b滿足a+b=1，b≥a，證明：g'（ax₁+bx₂）＜0．

Answer 1

分析 （1）通過求導(dǎo)可知f′（x）=2•$\frac{c-{x}^{2}}{x}$，進(jìn)而分c≤0與c＞0兩種情況討論即可；
（2）通過求導(dǎo)、作差變形可知g′（ax₁+bx₂）=$\frac{2}{a{x}_{1}+b{x}_{2}}$-$\frac{2（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+（2a-1）（x₂-x₁），利用分析法可知只需證明$\frac{2}{a{x}_{1}+b{x}_{2}}$-$\frac{2（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，即要證$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{a{x}_{1}+b{x}_{2}}$-ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜0，進(jìn)而換元、利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可．

解答 （1）解：由題可知x＞0，f′（x）=2（$\frac{c}{x}$-x）=2•$\frac{c-{x}^{2}}{x}$，
①若c≤0，則易知f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，故（0，+∞）為f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
②若c＞0，令f′（x）=0可知x=$\sqrt{c}$，
且當(dāng)x＞$\sqrt{c}$時(shí)f′（x）＜0，當(dāng)0＜x＜$\sqrt{c}$時(shí)f′（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（$\sqrt{c}$，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，$\sqrt{c}$）；
（2）證明：∵g（x）=f（x）-mx=2lnx-x²-mx，x＞0，
∴g′（x）=$\frac{2}{x}$-2x-m，
又∵函數(shù)g（x）=f（x）-mx的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，且0＜x₁＜x₂，
∴2lnx₁-${x}_{1}^{2}$-mx₁=0，2lnx₂-${x}_{2}^{2}$-mx₂=0，
兩式相減，得m=$\frac{2（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$-（x₁+x₂），
∴g′（ax₁+bx₂）=$\frac{2}{a{x}_{1}+b{x}_{2}}$-2（ax₁+bx₂）-$\frac{2（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+（x₁+x₂），
又∵a+b=1，
∴g′（ax₁+bx₂）=$\frac{2}{a{x}_{1}+b{x}_{2}}$-$\frac{2（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$+（2a-1）（x₂-x₁），
∵b≥a，2a≤1，
∴（2a-1）（x₂-x₁）≤0，
所以要證g'（ax₁+bx₂）＜0，只需證$\frac{2}{a{x}_{1}+b{x}_{2}}$-$\frac{2（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
即要證$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{a{x}_{1}+b{x}_{2}}$-ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜0，
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t∈（1，+∞），即證$\frac{t-1}{a+bt}$-lnt＜0，
記h（t）=$\frac{t-1}{a+bt}$-lnt，則h′（t）=$\frac{t-（a+bt）^{2}}{t（a+bt）^{2}}$，
又∵a+bt=1-b+bt=1+b（t-1）≥1+$\frac{1}{2}$（t-1）=$\frac{t+1}{2}$≥$\frac{2\sqrt{t}}{2}$=$\sqrt{t}$，
即（a+bt）²≥t，∴h′（t）=$\frac{t-（a+bt）^{2}}{t（a+bt）^{2}}$＜0，
∴h（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，故h（t）＜h（1）=0，即$\frac{t-1}{a+bt}$-lnt＜0，
即$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{a{x}_{1}+b{x}_{2}}$-ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜0，故g'（ax₁+bx₂）＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于函數(shù)的綜合應(yīng)用題，利用導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具是解題的核心，考查分類討論的思想，以及分析法來(lái)證明恒成立問題，注意解題方法的積累，屬于難題．