Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，直線l₁過點(diǎn)F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于直線l₁于點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線與l₁的交點(diǎn)的軌跡為曲線C₂，若點(diǎn)Q是C₂上任意的一點(diǎn)，定點(diǎn)A（4，3），B（1，0），則|QA|+|QB|的最小值為（　　）

• A． 6
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由題意可知設(shè)l₂：y=t，設(shè)P（-1，t），（t∈R），M（x，y），則y=t，且|MP|=|MF₂|，（x+1）²=（x-1）²+y²，化簡可得：曲線C₂：y²=4x，根據(jù)拋物線的定義可知：，當(dāng)A，Q，Q′三點(diǎn)共線時(shí)，|QA|+|QQ′丨取最小值，即可求得|QA|+|QB|的最小值．

解答 解：∵圓C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，
∴F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），直線l₁：x=-1，
設(shè)l₂：y=t，設(shè)P（-1，t），（t∈R），M（x，y），
則y=t，且|MP|=|MF₂|，
∴（x+1）²=（x-1）²+y²，
∴曲線C₂：y²=4x，
則B（1，0）為曲線C₂：y²=4x焦點(diǎn)，
過Q做QQ′垂直于曲線C₂的準(zhǔn)線，
由拋物線的定義可知：丨QQ′丨=丨QB丨，
|QA|+|QB|=|QA|+|QQ′丨，當(dāng)A，Q，Q′三點(diǎn)共線時(shí)，|QA|+|QQ′丨取最小值，
則Q′（-1，3），則|QA|+|QQ′丨的最小值為4-（-1）=5，
∴|QA|+|QB|的最小值5，
故選D．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，曲線軌跡方程的求法，拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．