Question

18．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}（{{{sin}^2}x-{{cos}^2}x}）-2sinxcosx$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）設$x∈[{-\frac{π}{3}\;，\;\;\frac{π}{3}}]$，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 根據(jù)二倍角公式和和差角公式（輔助角公式），化簡函數(shù)解析式為正弦型函數(shù)的形式，進而結(jié)合ω=2，可得f（x）的最小正周期；
$x∈[{-\frac{π}{3}\;，\;\;\frac{π}{3}}]$，⇒-$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤π，
當$-\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}$，即$-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{12}$時f（x）遞減，同理求得遞增區(qū)間．

解答 解：$f（x）=\sqrt{3}（{{{sin}^2}x-{{cos}^2}x}）-2sinxcosx$=-（sin2x+$\sqrt{3}$cos2x）=-2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（1）f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵$x∈[{-\frac{π}{3}\;，\;\;\frac{π}{3}}]$，∴-$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤π，
當$-\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}$，即$-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{12}$，
故f（x）的遞減區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{12}$]．增區(qū)間為[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]．

點評 本題考查的知識點是三角函數(shù)中的恒等變換，三角函數(shù)的周期性及單調(diào)性，熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．