Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\frac{lnx}{x+a}+b-1$，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x-1．
（1）求a，b
（2）試比較2016²⁰¹⁷與2017²⁰¹⁶的大小，并說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)c＜1時(shí)，證明：對(duì)任意的x＞0，有$\frac{（x+1）lnx}{x}-x+c-1＜0$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（1）=1-1=b-1，求出b的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=1，求出a的值即可；
（2）求出f（x）的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷大小即可；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只需證明$\frac{lnx}{x}$≤x-lnx，令g（x）=x-lnx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）∵f（1）=1-1=0，
∴f（1）=b-1=0，故b=1，
f′（x）=$\frac{\frac{x+a}{x}-lnx}{{（x+a）}^{2}}$，∴f′（1）=1，
∴$\frac{1+a}{{（1+a）}^{2}}$=1，
∴a=0；
（2）由（1）f（x）=$\frac{lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，
故f（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
∵2016＜2017，$\frac{ln2016}{2016}$＞$\frac{ln2017}{20′17}$，
∴2016²⁰¹⁷＞2017²⁰¹⁶；
（3）要證$\frac{（x+1）lnx}{x}-x+c-1＜0$，
即證lnx+$\frac{lnx}{x}$-x+c-1＜0，
∵c＜1，∴c-1＜0，
故只需證明lnx+$\frac{lnx}{x}$-x≤0，
即只需證明$\frac{lnx}{x}$≤x-lnx，
令g（x）=x-lnx，
∵f（x）≤f（e）=$\frac{1}{e}$，g′（x）=$\frac{x-1}{x}$，
故g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故g（x）≥g（1）=1，
∵1＞$\frac{1}{e}$，∴f（x）≤g（x），
∴$\frac{（x+1）lnx}{x}-x+c-1＜0$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．