Question

如圖展示了一個由區(qū)間（0，1）到實數(shù)集R的映射過程：區(qū)間（0，1）中的實數(shù)m對應數(shù)軸上的點M，如圖1；將線段AB圍成一個圓，使兩端點A、B恰好重合，如圖2；再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1），如圖3．圖3中直線AM與x軸交于點N（n，0），則m的象就是n，記作f（m）=n．

下列說法中正確命題的序號是

 

．（填出所有正確命題的序號）
①f(

1

4

)=1；②f（x）在定義域上單調函數(shù)；③f（x）是奇函數(shù)；④f（x）的圖象關于點(

1

2

，0)對稱．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：當M為四分之一分點時，N點落在x軸的負半軸上，則f(

1

4

)＜0≠1，命題①錯誤；
當自變量x逐步增大時，N點沿x軸從x軸的負半軸逐步過渡到x軸的正半軸，即n逐步增大，則f（x）在定義域上單調遞增；
自變量x的取值范圍為（0，1），則f（x）不是奇函數(shù)；
由圖3結合題意可得，當M點的位置離中間位置相等時，N點關于Y軸對稱，即此時函數(shù)值互為相反數(shù)判斷④正確．

解答： 解：∵當m=

1

4

時，此時M恰好處在左半圓弧的中點上，此時直線AM的方程為y=x+1，取y=0，得x=-1，
即f（

1

4

）=-1，
∴①是錯誤命題；
②由圖3可以看出，m由0增大到1時，M由A運動到B，此時N由x的負半軸向正半軸運動，由此知，N點的橫坐標逐漸變大，故f（x）在定義域上單調遞增是正確的，
∴②是正確命題；
③由函數(shù)是奇函數(shù)，其定義域必關于原點對稱，而m∈（0，1），不是奇函數(shù)，
∴③是錯誤命題；
④由圖3可以看出，當M點的位置離中間位置相等時，N點關于Y軸對稱，即此時函數(shù)值互為相反數(shù)，故可知f（x）的圖象關于點(

1

2

，0)對稱，
∴④是正確命題．
綜上知，②④是正確命題．
故答案為：②④．

點評：本題考查映射的概念，解答本題關鍵是理解題設中所給的對應關系，正確認識三個圖象的意義，由此對四個命題的正誤作出判斷，本題題型新穎，寓數(shù)于形，是一個考查理解能力的題，本題由于理解不了題意而導致無法下手，較抽象，是難題．