Question

17．已知a，b，c∈（0，1），且ab+bc+ac=1，則$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{{3-\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{9-\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{6-\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{9+3\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 確定a+b+c≥$\sqrt{3}$，利用柯西不等式（$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$）（1-a+1-b+1-c）≥（1+1+1）2，即可求出$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$的最小值．

解答 解：∵0＜a，b，c＜1滿足條件ab+bc+ac=1，
∴（a+b+c）²≥3（ab+ac+bc）=3
∴a+b+c≥$\sqrt{3}$，
∵（$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$）（1-a+1-b+1-c）≥（1+1+1）²
∴$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$≥$\frac{9}{3-（a+b+c）}$≥$\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$的最小值為$\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$．
故選D．

點評 本題考查$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$的最小值，考查柯西不等式的運用，屬于中檔題．