Question

2．已知A，B，C，D是球面上不共面的四點，AB=AC=$\sqrt{3}，BD=CD=\sqrt{2}，BC=\sqrt{6}$，平面ABC⊥平面BCD，則此球的體積為$\frac{{8\sqrt{2}}}{3}π$．

Answer 1

分析 球心O在平面ABC中的射影為BC的中點O′，求出求的半徑，即可求出球的體積．

解答 解：由題意，AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
∵平面ABC⊥平面BCD，
∴球心O在平面ABC中的射影為BC的中點O′．
DO′=$\sqrt{2-\frac{6}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
設(shè)OO′=h，則${h}^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}$=$（\frac{\sqrt{2}}{2}+h）^{2}$，
∴h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，R=$\sqrt{2}$，
∴球的體積為$\frac{{8\sqrt{2}}}{3}π$．
故答案為$\frac{{8\sqrt{2}}}{3}π$．

點評 本題考查球的體積的計算，考查面面垂直，正確求出球的半徑是關(guān)鍵．