Question

5．過(guò)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦點(diǎn)F（-c，0）（c＞0）作圓x²+y²=$\frac{a^2}{4}$的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交雙曲線右支于點(diǎn)P．且滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{OE}$，則雙曲線的漸近線方程為（　�。�

• A． $\sqrt{10}$x±2y=0
• B． 2x±$\sqrt{10}$y=0
• C． $\sqrt{6}$x±2y=0
• D． 2x±$\sqrt{6}$y=0

Answer 1

分析 通過(guò)雙曲線的特點(diǎn)知原點(diǎn)O為兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)，求出PF′的長(zhǎng)度及判斷出PF′垂直于PF，通過(guò)勾股定理得到a，c的關(guān)系，再求出a，b的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的漸近線方程．

解答 解：$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OE}$，
可得2$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}$，
即E為PF的中點(diǎn)，
如圖，記右焦點(diǎn)為F′，則O為FF′的中點(diǎn)，
∵E為PF的中點(diǎn)，
∴OE為△FF′P的中位線，
∴PF′=2OE=a，
∵E為切點(diǎn)，
∴OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，
∵點(diǎn)P在雙曲線上，
∴PF-PF′=2a，
∴PF=PF′+2a=3a，
在Rt△PFF′中，有：PF²+PF′²=FF′²，
∴9a²+a²=4c²，即10a²=4c²，
即有b²=c²-a²=$\frac{5}{2}$a²-a²=$\frac{3}{2}$a²，
則漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，在圓錐曲線中，求漸近線方程關(guān)鍵就是求三參數(shù)a，b的關(guān)系，注意解題方法的積累，屬于中檔題．