Question

19．如圖所示的三角形數(shù)陣角“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)，且兩端的數(shù)均為$\frac{1}{n}（{n≥2}）$，每個數(shù)使它下一行左右相鄰兩個數(shù)的和，如$\frac{1}{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}，\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}，\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}$，則第7行第5個數(shù)（從左到右）為$\frac{1}{105}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)“萊布尼茲調(diào)和三角形”中第n行第m個數(shù)為a（n，m），歸納可得每一行的第一個數(shù)字就是這個行數(shù)的倒數(shù)，且兩個數(shù)字之和等于兩個數(shù)字上方的數(shù)字之和，可得a（5，1）、a（6，1）、a（7，1）的值，進而可得a（7，2）與a（6，2）的值，而又由a（7，3）=a（6，2）-a（7，2），計算可得a（7，3）的值，結(jié)合“萊布尼茲調(diào)和三角形”的對程性，分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)“萊布尼茲調(diào)和三角形”中第n行第m個數(shù)為a（n，m），
由于“萊布尼茲調(diào)和三角形”中，每一行的第一個數(shù)字就是這個行數(shù)的倒數(shù)，且兩個數(shù)字之和等于兩個數(shù)字上方的數(shù)字之和，
則a（5，1）=$\frac{1}{5}$，a（6，1）=$\frac{1}{6}$，a（7，1）=$\frac{1}{7}$，
a（7，2）=a（6，1）-a（7，1）=$\frac{1}{42}$，a（6，2）=a（5，1）-a（6，1）=$\frac{1}{30}$，
a（7，3）=a（6，2）-a（7，2）=$\frac{1}{30}$-$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{105}$，
根據(jù)“萊布尼茲調(diào)和三角形”的對程性，分析可得a（7，5）=a（7，3）=$\frac{1}{105}$；
故答案為：$\frac{1}{105}$．

點評 本題考查歸納推理，是一個數(shù)列問題，解題的關(guān)鍵是歸納出每一行的第一個數(shù)字就是這個行數(shù)的倒數(shù)，且兩個數(shù)字之和等于兩個數(shù)字上方的數(shù)字之和．