Question

7．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosa+1}\\{y=\sqrt{2}sina+1}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），在以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=m（m∈R）．
（Ⅰ）求直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若曲線C上存在點P到直線l的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的極坐標(biāo)方程展開得：$ρsinθ+ρcosθ-\sqrt{2}m$=0，由此能求出直線l的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）曲線C的普通方程為：（x-1）²+（y-1）²=2，曲線C是一個圓，圓心C到直線l的距離$d=\frac{|1+1-\sqrt{2}m|}{\sqrt{2}}$$≤\frac{3\sqrt{2}}{2}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）直線l的極坐標(biāo)方程為：ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=m（m∈R）．
展開得：$ρsinθ+ρcosθ-\sqrt{2}m$=0，…（3分）
所以直線l的直角坐標(biāo)方程為：x+y-$\sqrt{2}m$=0．…（5分）
（Ⅱ）曲線C的普通方程為：（x-1）²+（y-1）²=2，
所以曲線C是一個圓；…（7分）
由已知可得，圓心C到直線l的距離$d=\frac{|1+1-\sqrt{2}m|}{\sqrt{2}}$$≤\frac{3\sqrt{2}}{2}$，…（9分）
解得-$\frac{\sqrt{2}}{2}≤m≤\frac{5\sqrt{2}}{2}$．…（10分）

點評 本題考查直線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程互化公式的合理運用．