Question

7．設(shè)F為拋物線y²=8x的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線上不同的三點(diǎn)，且$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OFA、△OFB、△OFC的面積分別為S₁、S₂、S₃，則S₁²+S₂²+S₃²=（　　）

• A． 36
• B． 48
• C． 54
• D． 64

Answer 1

分析 確定拋物線y²=8x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，求出S₁²+S₂²+S₃²的表達(dá)式，利用點(diǎn)F是△ABC的重心，求得數(shù)值．

解答 解：設(shè)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)
分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），
∵拋物線y²=8x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），
∴S₁=$\frac{1}{2}$×|y₁|×2=|y₁|，
S₂=$\frac{1}{2}$×|y₂|×2=|y₂|，
S₃=$\frac{1}{2}$×|y₃|×2=|y₃|，
∴S₁²+S₂²+S₃²=y₁²+y₂²+y₃²=8（x₁+x₂+x₃）；
∵$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴點(diǎn)F是△ABC的重心，
∴$\frac{1}{3}$（x₁+x₂+x₃）=p=2，
∴（x₁+x₂+x₃）=6；
∴S₁²+S₂²+S₃²=6×8=48．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角形重心的性質(zhì)，是中檔題．