分析 (1)由題意可得方程2x2+bx+c=0的兩個(gè)根為0和5,由韋達(dá)定理,解方程可得b,c的值;
(2)由題意可得對(duì)任意x∈[-1,1],不等式2x2-10x+t≤2恒成立,即對(duì)任意x∈[-1,1],不等式t≤-2x2+10x+2恒成立,所以t≤(-2x2+10x+2)min,x∈[-1,1],由二次函數(shù)的單調(diào)性可得最小值,即可得到所求范圍;
另外:令g(x)=2x2-10x+t-2,x∈[-1,1],求得g(x)的單調(diào)性和最大值,即可得到所求范圍.
解答 解:(1)因?yàn)閒(x)=2x2+bx+c,所以不等式f(x)<0即為2x2+bx+c<0,
由不等式2x2+bx+c<0的解集為(0,5),
所以方程2x2+bx+c=0的兩個(gè)根為0和5,
所以$\left\{\begin{array}{l}0+5=-\frac{2}\\ 0×5=\frac{c}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}b=-10\\ c=0.\end{array}\right.$;
(2)由(1)知:f(x)=2x2-10x,
所以“對(duì)任意x∈[-1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立”等價(jià)于
“對(duì)任意x∈[-1,1],不等式2x2-10x+t≤2恒成立”,
即:對(duì)任意x∈[-1,1],不等式t≤-2x2+10x+2恒成立,
所以t≤(-2x2+10x+2)min,x∈[-1,1],
令g(x)=-2x2+10x+2,x∈[-1,1],
則$g(x)=-2{(x-\frac{5}{2})^2}+\frac{29}{2}$,
所以g(x)=-2x2+10x+2在[-1,1]上為增函數(shù),
所以gmin(x)=g(-1)=-10,
所以t≤-10,即t的取值范圍為(-∞,-10].
另解:由(Ⅰ)知:f(x)=2x2-10x,
所以“對(duì)任意x∈[-1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立”等價(jià)于
“對(duì)任意x∈[-1,1],不等式2x2-10x+t-2≤0恒成立”,
令g(x)=2x2-10x+t-2,x∈[-1,1],則gmax(x)≤0,x∈[-1,1],
因?yàn)間(x)=2x2-10x+t-2在[-1,1]上為減函數(shù),
所以gmax(x)=g(-1)=10+t≤0,
所以t≤-10,即t的取值范圍為(-∞,-10].
點(diǎn)評(píng) 本題考查二次不等式和二次方程的關(guān)系,考查不等式恒成立問(wèn)題的解法,注意運(yùn)用參數(shù)分離和二次函數(shù)的單調(diào)性,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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A. | 36 | B. | 48 | C. | 54 | D. | 64 |
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A. | 線段 | B. | 直線 | C. | 射線 | D. | 圓 |
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A. | 10 | B. | 16 | C. | 20 | D. | 24 |
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A. | $f(x)=sin(2x+\frac{π}{6})$ | B. | $f(x)=sin(2x-\frac{π}{6})$ | C. | $f(x)=sin(2x+\frac{π}{3})$ | D. | $f(x)=sin(2x-\frac{π}{3})$ |
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A. | -1 | B. | 31 | C. | 32 | D. | 33 |
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