10.設實數(shù)x、y滿足2x+y=9.
(1)若|8-y|≤x+3,求x的取值范圍;
(2)若x>0,y>0,求證:$\frac{x+8y}{2xy}$≥$\frac{25}{18}$.

分析 (1)消去y,得到關于x的不等式,求出x的范圍即可;(2)根據(jù)基本不等式的性質證明即可.

解答 解:(1)∵2x+y=9,
∴由|8-y|<x+3,得|2x-1|<x+3,
則-x-3<2x-1<x+3,
即$\left\{\begin{array}{l}{2x-1<x+3}\\{2x-1>-x-3}\end{array}\right.$,
解得:-$\frac{2}{3}$<x<4;
(2)證明:∵2x+y=9,x>0,y>0,
∴$\frac{x+8y}{2xy}$=$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{2y}$=$\frac{1}{9}$(2x+y)($\frac{4}{x}$+$\frac{1}{2y}$)=$\frac{1}{9}$[$\frac{17}{2}$+($\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$)],
∵$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥4,當且僅當x=2y=$\frac{18}{5}$時“=”成立,
∴$\frac{x+8y}{2xy}$≥$\frac{1}{9}$×($\frac{17}{2}$+4)=$\frac{25}{18}$.

點評 本題考查了絕對值不等式問題,考查基本不等式的性質,是一道中檔題.

練習冊系列答案
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