Question

20．已知$tan（α+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，且$\frac{π}{2}＜α＜π$，則$\frac{{sin2α-2{{cos}^2}α}}{{sin（α-\frac{π}{4}）}}$則等于（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{3\sqrt{5}}}{10}$
• C． $-\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$
• D． $-\frac{{3\sqrt{5}}}{10}$

Answer 1

分析 由題意利用兩角和的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα和sinα的值，化簡所給的式子可得結(jié)果．

解答 解：已知$tan（α+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$=$\frac{tanα+1}{1-tanα}$，∴tanα=-$\frac{1}{3}$=$\frac{sinα}{cosα}$．
∵sin²α+cos²α=1，結(jié)合$\frac{π}{2}＜α＜π$，可得sinα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosα=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
則$\frac{{sin2α-2{{cos}^2}α}}{{sin（α-\frac{π}{4}）}}$=$\frac{2cosα•（sinα-cosα）}{\frac{\sqrt{2}}{2}（sinα-cosα）}$=2$\sqrt{2}$cosα=2$\sqrt{2}$•（-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$）=-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
故選：C．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的三角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．